【江苏成考专升本】数学1--微分知识点睛(导数的应用)
知识结构:
必备基础知识
★ 函数的单调性的判别定理
(1) 若在(a, b)内, 则函数在[a, b]上单调增加;
(2) 若在(a, b)内, 则函数在[a, b]上单调减少.
★ 极值定义
设函数f(x)在区间(a, b)内有定义, x0Î(a, b). 如果在x0的某一去心邻域内有f(x)<f(x0), 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值; 如果在x0的某一去心邻域内有f(x)>f(x0), 则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
★ 最值定义
设函数f(x)在区间上有定义,对,如果在恒有f(x)<f(x0), 则称f(x0)是函数 f(x)的一个最大值; 如果在在恒有f(x)>f(x0), 则称f(x0)是函数f(x)的一个最小值.
★ 凹凸性的定义
设f(x)在区间I上连续, 如果对I上任意两点x 1, x 2, 恒有
那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有
那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).
主要考察知识点和典型例题:
考点一:运用洛必达法则求极限:
洛必达法则是一种求极限的非常有效的方法,主要用来求解或的未定式的极限,以及可以转化为或的未定式0×¥ 、¥-¥的极限。近年考察较为简单,主要是考查:直接用洛必达法则或的未定式的极限。
要求:
(1)拿到一个极限题首先就要代入,看是不是未定式,是那种类型的未定式。
(2)如果是未定式,则可以考虑洛必达法则
【注】
(1)有时一次洛必达法则不能得到极限值,而是得到一个未定式,则可以用多次。
(3)对于型,可将乘积化为除的形式,即化为或型的未定式来计算.
(4)洛必达法则可以和其他求极限方法,尤其是等价代换,混合在一起来用。
考点二:函数单调性的判别(单调区间和驻点)
函数的单调性是一种非常重要的特性,利用导数判别单调性是一种快捷有效的手段,本部分内容主要考查:求函数的单调区间以及函数的驻点、利用单调性证明不等式。
1、求函数的单调区间以及函数的驻点
步骤:
(1)确定函数的定义域;
(2)求单调增加和单调减少的可能的分界点:导数为零的点(驻点)和导数不存在的点,即:的点和不存在的点。
(3)利用上述点去划分定义域,然后在每一个小区间上验证一阶导数的符号,从而确定函数的单调性。
要求:
(1)理解单调性、单调区间和驻点的概念;
(2)掌握判别单调性的方法——一阶导数法。
解
(3)
1 | 2 | ||||
0 | 0 | ||||
↗ | 驻点 | ↘ | 驻点 | ↗ |
【注】(1)可能的分界点包括驻点和不可导点。
2、利用单调性证明不等式
思路:见到不等式的证明题,一般就是和单调性有关,其关键是构造一个函数,证明其在某个区间上单调增或单调减即可。